La loi de puissance qui décrit la fragmentation des solides et des liquides expliquée

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Un geste maladroit et voilà votre verre qui se renverse et se précipite vers le sol. Au terme de sa chute, il vole en éclats avec un son cristallin. Le chaos règne : des dizaines de morceaux, petits et gros, s’éparpillent en tous sens. Et pourtant, de façon surprenante, les physiciens ont constaté expérimentalement que la taille des fragments n’est pas aussi aléatoire qu’on pourrait le croire. Celle-ci suit une loi de puissance décroissante, de la forme n ~ d^{– β}, où n est le nombre de morceaux d’une taille d, avec β un exposant qui dépend de la forme de l’objet. Dit autrement, il y a beaucoup de petits morceaux et peu de grands, mais selon une règle de répartition précise. Encore plus étonnant, cette distribution en loi de puissance s’applique aussi bien à des solides unidimensionnels (comme un spaghetti cru), bidimensionnels (une assiette) ou tridimensionnels (un morceau de sucre qu’on écrase) qu’à des liquides (les fragments d’une goutte lors d’un impact ou ceux qu’une bulle qui éclate produit). Jusqu’à présent, ce comportement de fragmentation était expliqué au cas par cas en s’appuyant sur la structure et sur des mécanismes microscopiques propres au système considéré.

Partant de l’intuition qu’il existe certainement un principe qui se cache derrière l’ubiquité de cette loi de puissance, Emmanuel Villermaux, de l’université Aix-Marseille, a proposé une nouvelle approche qui s’inspire de la physique statistique. Dans ce domaine, il est possible, par exemple, de définir des grandeurs comme la température ou la pression sans avoir besoin d’une description précise de la composition à l’échelle atomique du système. Au lieu d’essayer de comprendre comment les fragments se forment en étudiant les fragilités et les défauts à l’échelle du réseau cristallin, le physicien s’est demandé quelles étaient les configurations les plus probables lorsque l’objet se brise.

Pour cela, Emmanuel Villermaux est parti de l’hypothèse du « chaos moléculaire », introduite par Ludwig Boltzmann pour la théorie cinétique des gaz. Cette hypothèse stipule que les vitesses des particules qui entrent en collision dans le gaz ne sont pas corrélées. La fragmentation suivrait ce même comportement : les lignes de fractures ne sont pas corrélées entre elles. Et, dans ce cadre, la façon dont les objets se brisent correspond à la configuration qui maximise l’entropie (que l’on peut interpréter ici comme une manière de compter les microétats, c’est-à-dire toutes les configurations microscopiques qui sont équivalentes à l’échelle macroscopique).

Pour énoncer ses équations, le physicien a introduit des contraintes sous la forme de lois de conservation, c’est-à-dire la conservation de la masse, et une contrainte cinématique. Ce faisant, Emmanuel Villermaux a bien retrouvé la loi de puissance avec le paramètre β, qui dépend explicitement de la dimensionnalité du système. Le calcul pour une barre unidimensionnelle donne β = 1,3, pour un système 2D, le coefficient vaut β = 2,4 et pour un objet tridimensionnel β = 3,5.

Cette méthode semble efficace pour décrire des solides cassants et certains liquides. Emmanuel Villermaux s’est alors intéressé aux limites de son approche. Par exemple, des matériaux plastiques ou viscoélastiques ont une capacité d’autoréparation des fractures aux plus petites échelles qui est plus rapide que leur développement. Par conséquent, il y a moins de petits fragments que ce que prévoit la loi de puissance. Ces interactions entre les fragments en formation dérogent à l’hypothèse de chaos moléculaire. Cependant, le physicien a constaté qu’il est possible d’adapter son approche, ce qui fait émerger un nouveau terme dans sa formule (contenant une exponentielle) qui corrige la valeur du coefficient β. Ainsi, pour un matériau plastique, au lieu d’avoir β = 3,5, ce coefficient prend la valeur de 1,6.

Quand vous ramasserez, avec précaution, les bouts de votre verre brisé, au lieu de vous plaindre de votre maladresse, n’hésitez pas à compter les morceaux en fonction de leur taille afin de vérifier que la loi de puissance s’applique effectivement !